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空間幾何變換

空間中的幾何變換分為多類,，從簡單，到逐漸復雜的變換,，分別有如下幾種：

1.   等距變換（Isometries）,。等距變換下點到點的歐式距離保持不變。剛體變換是典型的等距變換,。

2.   相似變換（Similarity）,。在等距變換的基礎上加上一個各向同性的縮放。矩陣表示上需要在旋轉(zhuǎn)矩陣部分乘以一個非零系數(shù)s,。

3.   仿射變換（Affine）,。是一個非奇異的線性變換加上一個平移向量組成的變換,。

4.   投影變換（Projective）。任意非奇異的4×4矩陣所構(gòu)成的變換,。

變換的分類和特征如下圖所示,。

 

三維剛體的空間變換屬于種情況。如果物體不變形,，那么剛體變換涵蓋物理世界中的所有情況,。剛體變換包含三個平移自由度和三個旋轉(zhuǎn)自由度，總共6個自由度,。應用剛體變換,，點到點的距離保持不變，同時矢量的點積和叉積保持不變,。平移自由度易于理解,，故本文重點討論旋轉(zhuǎn)分量，即旋轉(zhuǎn)矩陣R,。

旋轉(zhuǎn)矩陣

在理解高維理論時,，我們一般采用降維的方式理解，由易到難,。首先回到二維空間的變換,。二維平面中，剛體變換有三個自由度,，x, y 和旋轉(zhuǎn)角θ,。用矩陣的形式表示：

其中

 

分別為旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量?？梢钥吹叫D(zhuǎn)矩陣只有一個自由度,，因其只有一個變量θ。

旋轉(zhuǎn)矩陣R的性質(zhì)：

1. 旋轉(zhuǎn)矩陣的逆矩陣是它的轉(zhuǎn)置矩陣,，故旋轉(zhuǎn)矩陣是正交矩陣,。（如果不理解逆矩陣和轉(zhuǎn)置矩陣，請首先惡補線性代數(shù)）,。

2. 一個矩陣是旋轉(zhuǎn)矩陣,，當且僅當它是正交矩陣，且它的行列式是1,。正交矩陣的行列式是±1,。讀者可思考行列式為-1的情況對應什么變換。

二維旋轉(zhuǎn)矩陣可用旋轉(zhuǎn)角唯yi表示,。正角表示逆時針旋轉(zhuǎn),。

 

 

如下圖表示的是當θ=20°的情況。

 

二位旋轉(zhuǎn)矩陣的許多性質(zhì)在三維空間中同樣滿足,。

讓我們回到三維空間,。旋轉(zhuǎn)可以有三個旋轉(zhuǎn)組合而成,。在右手（笛卡爾）坐標系下分別繞x，y,， z軸旋轉(zhuǎn),。其旋轉(zhuǎn)矩陣分別對應為

 

任意旋轉(zhuǎn)矩陣可寫作一定角度下的三個矩陣的乘積。

注意：矩陣乘法不符合交換律,！故順序不同,，得到的旋轉(zhuǎn)矩陣并不相同。

 

歐拉角

航空領域,，一般定義飛機前后軸為x軸,，沿x軸旋轉(zhuǎn)的角度一般稱為Roll，中文稱作翻滾角,；兩翼方向稱作Pitch,，中文稱作俯仰角；垂直地面的方向是航向角（Yaw）,，如下圖所示,。作者覺得中文翻譯很符合愿意，更易于理解,?？梢杂涀≡隈{駛飛機時，如何操縱翻滾角,，俯仰角,，航向角。Roll,，Pitch,，Yaw，又稱作歐拉角,。習慣上,，三個歐拉角的方向是z-y-x，使用時需要特別重要,，歐拉角順序錯了，旋轉(zhuǎn)矩陣也會發(fā)生變化,。

 

程序?qū)崿F(xiàn)：
程序使用基于C++的Eigen庫[3],。注意，Eigen庫是一個僅包含頭文件的基礎矩陣庫,，沒有靜態(tài)或動態(tài)庫,。使用時僅需要把相關(guān)的目錄include就可以了。

 

再次注意：三個歐拉角的順序,！

 

 

李群和李代數(shù)

三維旋轉(zhuǎn)矩陣是直觀的表示方法,，但旋轉(zhuǎn)矩陣有9個變量,，只有3個自由度，故信息是冗余的,。旋轉(zhuǎn)矩陣在工程使用更好的表達方法,。根據(jù)定義，所有的剛體變換屬于一個群（李qun,，Lie Group）,。剛體變換又稱作特殊歐式變換（special  Euclidean  transformation），通常寫作SE（3）,。李群中的變換滿足如下特性,。詳細性質(zhì)可參見李群和李代數(shù)的資料。如果只限于3D視覺或機器人學,，只需記住其主要特性：

?封閉性
?相關(guān)性
?單位矩陣
?可逆

剛體變換的組合和逆變換均屬于剛體變換,。
單純的旋轉(zhuǎn)變換稱作特殊正角變換（special orthogonal transformation)，通常寫作SO（3）,。旋轉(zhuǎn)矩陣都是正交矩陣,。
李代數(shù)通過指數(shù)映射，將旋轉(zhuǎn)矩陣的9個變量轉(zhuǎn)換為3個變量,，結(jié)合三個平移向量,，總共6個變量，對應6個自由度,。李代數(shù)表示法在三維重建（SFM）,、VR、SLAM等位姿估計領域應用的較多,。李代數(shù)有基于Eigen的Sophus庫[4]可使用,，方便完成指數(shù)映射。

 

羅德里格斯旋轉(zhuǎn)公式

（Rodriguez’s Rotation Formula）

旋轉(zhuǎn)矩陣有一個更有效的表達方法,，即由一個單位向量和一個旋轉(zhuǎn)角生成,。每一個旋轉(zhuǎn)矩陣均可轉(zhuǎn)化為向量和角（又稱軸-角）的表達方式。根據(jù)公式,，單位向量用表示,，旋轉(zhuǎn)的角度是θ，那么相應的旋轉(zhuǎn)矩陣是：

 

 

此矩陣可簡化為如下公式：

具體點符號定義可參見相關(guān)文獻,。單純環(huán)繞x,，y或z軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)矩陣是羅德里格斯公式的特殊形式。讀者可以把上式中的單位向量替換為（0,0,1）進行驗證,。雖然公式復雜,，但程序?qū)嵺`比較方便。利用Eigen庫中的Eigen::AngleAxisf（旋轉(zhuǎn)向量）可以直接獲得。

 

四元數(shù)(Quternions)

四元素可看作一種特殊的復數(shù),，由一個實部和三個虛部構(gòu)成,。四元素的表示方法同旋轉(zhuǎn)矩陣、歐拉角表示方法是等價的,。根據(jù)羅德里格斯旋轉(zhuǎn)公式,，任何一個旋轉(zhuǎn)都可以表達成軸角的表達法。四元素可以更方便的表達出旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角,。單位歐拉向量可表示為：

根據(jù)歐拉公式的擴展,，四元素可表示為

 

四元素分為實部和虛部，實部只跟旋轉(zhuǎn)角有關(guān),。虛部有單位向量和旋轉(zhuǎn)角共同計算得來,。

四元數(shù)的求逆可采用復數(shù)的共軛（即虛部取反）方式求得

同時，四元數(shù)更易于做線性插值（Slerp）,。實際實驗中,，使用四元素做旋轉(zhuǎn)矩陣的計算更加方便。使用Eigen庫時,，四元素的使用更為方便,。

 

總結(jié)

剛體的空間變換由平移和旋轉(zhuǎn)兩部分組成。平移部分易于理解,，旋轉(zhuǎn)部分一般由直觀的3×3矩陣表示,。

旋轉(zhuǎn)矩陣有很多特性（正交矩陣、單位矩陣）,，但其由9個元素,，但只有3個自由度，故數(shù)學上的表示是冗余的,。

在機器人領域,，使用多的除旋轉(zhuǎn)矩陣外，還有旋轉(zhuǎn)向量,、歐拉角,、四元素等。

本文的幾乎所有變換都容易實現(xiàn),，可直接使用三方庫如Eigen[3],，類似的還要OpenCV等。但如要深入理解,，hao自己實戰(zhàn),。

思考：二維空間剛體變換有3個自由度，三維有6個自由度,，四維空間呢？n維空間呢,？

 

參考文獻：

1. Multiple View Geometry in Computer Vision (2nd Edition), Richard Hartley and Andrew Zisserman.

2. An Invitationto 3-D Vision From Images to Models, Yi Ma, Jana Kosecka, Stefano Soatto and Shankar Sastry.

3. Eigen, eigen.tuxfamily.org/.

 

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