微分幾何基礎(chǔ)

微分幾何是現(xiàn)代數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的重要分支,，在理論探索和實(shí)際應(yīng)用中都是重要學(xué)科,。大名鼎鼎的高斯,、歐拉是微分幾何學(xué)派的創(chuàng)建者（是否記得多少公式和定理以這兩人的名字命名）,。20世紀(jì)是微分幾何發(fā)展迅猛的100年,，中國的數(shù)學(xué)家也做出過重要貢獻(xiàn),，如陳省身,、邱成桐（菲爾茲獎得主）,。在計算機(jī)領(lǐng)域,，微分幾何是計算機(jī)圖形學(xué)的基礎(chǔ)，逼真酷炫的電腦游戲,、電影等,，都是在微分幾何基礎(chǔ)上的產(chǎn)業(yè)化。在機(jī)器人領(lǐng)域,，核心控制系統(tǒng)需要合適的傳感器（如相機(jī)）獲取信息,，并理解環(huán)境信息，屬于計算機(jī)視覺的范疇,；如需完成復(fù)雜動作,，如抓取、放置等操作,，則需要理解物體的幾何信息,，需要用幾何特征描述來決策機(jī)器人要執(zhí)行的動作。

完成機(jī)器人抓取需要如下兩個過程：
·識別過程,，屬于視覺和深度學(xué)習(xí)的范疇,，在此不再贅述。
·獲取物體的三維空間描述,，微分幾何,。
三維空間中的物體有哪些特征呢？
 

曲率

為理解曲率,，首先回到二維平面,。什么是曲率？簡答說來,，是幾何體的不平坦程度,。平面曲線的曲率定義為其密切圓的倒數(shù)。采用微分的定義,，密切圓在很小的范圍內(nèi)同曲線重合,。故平面中的圓所有點(diǎn)曲率一直，為半徑的倒數(shù)，密切圓為其本身,。直線曲率處處為0,，因其密切圓半徑無窮大。

曲線的密切圓和密切圓半徑,。曲率為半徑的倒數(shù),。

三維空間中可用曲率描述曲面。包括兩個主曲率,、高斯曲率,、平局曲率等。點(diǎn)的主曲率是通過此點(diǎn)曲線大和小曲率,。高斯曲率為兩個曲率之積,，平均曲率則是兩個主曲率之平均。

一些特殊情況,，如負(fù)曲率,，如馬鞍型，常見使用：冷卻塔,，廣州塔,。

二次曲線（Conics）和二次曲面（Quadrics）

二次曲線也稱圓錐曲線，其在數(shù)學(xué)上的定位為一個正圓錐面和一個平面的相切形成的曲線,。其公司可表述為：

其中A,，B，C不得皆等于0,。故常見的圓,、橢圓、拋物線等皆屬于二次曲線,。

二次曲面則是三維空間中常見的曲面,，其一般公式為：

常見的二次曲面包括：


·橢球（Ellipsoid），形如

球體是橢球的一種特例


·雙曲面（Hyperbolic）,，形如

或

·圓錐體（elliptic cone）,，形如：

一些特殊二次曲面示例：

曲面擬合

在機(jī)器人抓取領(lǐng)域，一般采用深度相機(jī)作為傳感器,。深度相機(jī)可直接獲取空間點(diǎn)云信息,。對于特定物體的抓取，一般在檢測定位的基礎(chǔ)上,，采用點(diǎn)云擬合的方式定位,，從而獲取物體在深度相機(jī)坐標(biāo)系下的位置和姿態(tài)。常用的擬合有如下幾種：

·平面擬合,?？臻g中的平面可由空間中一點(diǎn)和法向量唯yi確定,。常用擬合方案有，主成分分析,；小二乘法；隨機(jī)采樣法（RANSAC）,。
·圓柱擬合,。實(shí)際抓取場景中經(jīng)常碰到圓柱面物體的情況。實(shí)際點(diǎn)云擬合中,，如果已知主軸方向,，則可投影到平面中，做圓的擬合,。如方向未知,，可首先用PCA的方法確定主軸方向。

·球體擬合,，看似復(fù)雜,，實(shí)際只需確定圓心（一個點(diǎn)）和半徑?？偣?個自由度（未知變量）,，可使用小二乘法或數(shù)值*化方法來確定。

不規(guī)則形狀

機(jī)器人抓取的實(shí)際場景中,，一般曲面較為復(fù)雜,，很難用簡單公式表述。對于復(fù)雜曲面（曲線）,，一般采用ICP（IterativeClosestPoint）的方案完成自由形狀的對齊,。

總結(jié)

曲率是描述空間中的曲線或曲面重要的特征。一般來說,，進(jìn)行機(jī)器人抓取,，需要首先利用圖像信息確定物體的圖像位置，然后通過深度相機(jī)獲取的點(diǎn)云信息技術(shù)其幾何特性,，完成抓取過程,。曲面擬合和ICP的方案仍然有許多細(xì)節(jié)，在機(jī)器人抓取中需要特別注意,。

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