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一階電路根據(jù)KVL和KCL建立微分方程,，利用高等數(shù)學(xué)求解微分方程的方法，可求得一階RL電路和RC電路的通解為：

其中三個(gè)要素分別為所求變量的初始值,、特解和時(shí)間常數(shù),。用微分方程分析方法關(guān)鍵是求解變量的三個(gè)要素。

       對于一階電路,，求解電路中任一響應(yīng)隨時(shí)間的變化規(guī)律,，都可以利用三要素法。

而對于一階RL電路,，無任需要求解哪個(gè)變量,，都可以首先求解電感電流隨時(shí)間的變化規(guī)律，別的變量隨時(shí)間的變化可以根據(jù)所求的電感電流,、已知的電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)來求解,。而電感電流的獨(dú)立初始值可根據(jù)換路定則得出。

而對于一階RC電路,，無任需要求解哪個(gè)變量,，都可以首先求解電容電壓隨時(shí)間的變化規(guī)律，別的變量隨時(shí)間的變化可以根據(jù)所求的電容電壓,、已知的電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)來求解,。而電容電壓的獨(dú)立初始值可根據(jù)換路定則得出。

三要素法數(shù)學(xué)表達(dá)式中,，隨時(shí)間變化而不斷減小,，因而稱為動態(tài)電路的暫態(tài)分量（自由分量）。特解主要由外加激勵(lì)決定,，因此它為動態(tài)電路的強(qiáng)制分量,。當(dāng)外加激勵(lì)為直流或交流時(shí)，特解為穩(wěn)態(tài)分量,。

2,、一階電路的全響應(yīng)

1）全響應(yīng)的定義：在非零狀態(tài)的動態(tài)電路中，外加激勵(lì)所引起的電路響應(yīng),。

2）全響應(yīng)解的組成

在圖1電路中,，電阻、電容以及電壓源全部為已知參數(shù),，開關(guān)S在t=0時(shí)刻從位置1合到位置2，開關(guān)移動之前電路處于穩(wěn)態(tài),，求換路后的電容電壓,。

圖1   一階電路的全響應(yīng)

根據(jù)一階電路的三要素法得：

  ，即全響應(yīng)=強(qiáng)制分量（穩(wěn)態(tài)解）+自由分量（暫態(tài)解）,；

或全響應(yīng)表達(dá)為：

    ,，即表示全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng),。  

這三種情況電容電壓隨時(shí)間變化情況如圖2所示。

圖2 電容電容隨時(shí)間的變化

當(dāng)時(shí),，外加激勵(lì)換路后對電容充電,；當(dāng)時(shí)，換路后,，電路瞬間進(jìn)入穩(wěn)態(tài),，電路沒有過渡過程；當(dāng)時(shí),，換路后電容對外電路放電

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第 4 節(jié) 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)

零狀態(tài)響應(yīng)：儲能元件的初始狀態(tài)為零,，僅由外加激勵(lì)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)（ zero-state response ）,。

一,、 RC 電路的零狀態(tài)響應(yīng)

圖 5.4-1 所示 RC 電路，開關(guān)閉合之前電路已處于穩(wěn)態(tài),，且電容中無儲能,，即 。 時(shí)開關(guān)閉合,，討論 時(shí)響應(yīng)的變化規(guī)律,。

t=0 時(shí)開關(guān)閉合，則由換路定則得

這時(shí)直流電壓源 Us 與 R ,、 C 構(gòu)成回路,，由 KVL 得

這是一階非齊次微分方程，它的解由對應(yīng)的齊次微分方程的通解和非齊次微分方程的特解組成,。采用常數(shù)變易法來解,，得 RC 電路的零狀態(tài)響應(yīng)為

當(dāng) t →∞時(shí)，電路已達(dá)到新的穩(wěn)態(tài),，電容又相當(dāng)于開路,，則， 

因此,，電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)為

式中,， 為 RC 電路的時(shí)間常數(shù)。

二,、 RL 電路的零狀態(tài)響應(yīng)

圖 5.4-3 所示電路,， 時(shí)開關(guān) S 處于閉合狀態(tài)，電感的初始狀態(tài) ,， 時(shí)開關(guān)打開,。討論開關(guān)打開后響應(yīng)的變化規(guī)律。

t=0 時(shí),，開關(guān) S 打開,，直流電流源 Is 開始對電感充電,，這時(shí)

這也是一階非齊次微分方程，解得

式中,， 為 RL 電路的時(shí)間常數(shù),。當(dāng) t →∞時(shí)，這時(shí)電路已達(dá)到新的穩(wěn)態(tài),，電感相當(dāng)于短路,。

， 

因此,，電感電流的零狀態(tài)響應(yīng)為