動態(tài)光散射檢測電機(jī)轉(zhuǎn)速的互信息函數(shù)分析

王沙,楊志安,，任中京

(濟(jì)南大學(xué)理學(xué)院,，濟(jì)南250022)

摘要：通過計算互信息函數(shù),對動態(tài)光散射得到的電機(jī)轉(zhuǎn)速的時間序列進(jìn)行了分析,。研究表明,，互信息函數(shù)法能 準(zhǔn)確地測出電機(jī)轉(zhuǎn)速,。同時，由于互信息函數(shù)自身的優(yōu)點(diǎn)-一能實(shí)際地反映出數(shù)據(jù)之間的相互關(guān)聯(lián),，因此,與自相關(guān)函 數(shù)法比較,互信息函數(shù)法可反映出更多的動力學(xué)信息,。對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的時間序列作了二維的相空間重構(gòu),從重構(gòu)圖形發(fā)現(xiàn) 系統(tǒng)有2周期行為,并呈現(xiàn)有一些新現(xiàn)象。

 關(guān)鍵詞：光學(xué)測量;互信息函數(shù),；動態(tài)光散射,；自相關(guān)函數(shù)；相空間重構(gòu)

1引言

本文利用互信息函數(shù)對動態(tài)光散射法測電機(jī)轉(zhuǎn) 速的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了研究,，準(zhǔn)確測出了電機(jī)的轉(zhuǎn)速,。本 文對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的時間序列作了二維的相空間重構(gòu)， 發(fā)現(xiàn)了一些新的現(xiàn)象并進(jìn)行了討論,。這些結(jié)果是以 往自相關(guān)函數(shù)法^[1]分析中所沒有的,，文中比較了互 信息函數(shù)法與自相關(guān)函數(shù)法^[2]兩種方法的優(yōu)劣。

2原理

按Shannon的信息理論,，設(shè)S表示一組訊號為 S1 , S2 ,…,，Sn的系統(tǒng),出現(xiàn)Si的概率是P_s⁽nJ , i = 1, 2,, n。對另一組訊號為q , qi,  qn的系統(tǒng)Q ,出 現(xiàn)qj的概率是Pq(qj) ,j = 1 ,，2 ,， n。q同時出 現(xiàn)的概率是Psq (Si, qj),?；バ畔⒌亩x為：

I(S, Q)度量的是變量S與Q之間的一般性關(guān)聯(lián)程 度,或比值P_sq(Si, qj) / P_s(Si) P_q(qj)的整體不平整 程度?；バ畔⒃酱?/span>,，變量S與Q之間的關(guān)聯(lián)程度越強(qiáng)，系統(tǒng)的不平整程度越高,，系統(tǒng)越不均勻,；互信息 越小，變量S與Q之間的關(guān)聯(lián)程度越弱，系統(tǒng)的不 平整程度越低,系統(tǒng)越均勻,。

在光子互信息法檢測電機(jī)轉(zhuǎn)速的實(shí)驗(yàn)研究中,， 主要關(guān)心的是測量數(shù)據(jù)隨延遲時間T的周期性，從 而得出電機(jī)的轉(zhuǎn)速,。在計算中對某給定的延遲時間 T,，令[s, q] = [x (t) , x (t + T)],這時互信息 I 是 延遲時間T的函數(shù)。

因?yàn)殡姍C(jī)轉(zhuǎn)動是周期性的動力系統(tǒng),，其狀態(tài)隨 時間的演化可表示成s = x(T) = sint,則延遲坐標(biāo)可表示成q = x (t + T) = sin(t + T) ,，其中T是延遲時間。當(dāng)延遲Ti = 0時,q = x (t + T) = sin(t + 0) = sin t,，這時s與q是同一變量,s與q間的關(guān)聯(lián)zui 強(qiáng),這時I( Ti,；取極大值。設(shè)系統(tǒng)周期是r,當(dāng)h = t 時,q = x (t + t) = sin (t + t) = sin t,使互信肩,、 I(T2)又取極大值,則兩個極大點(diǎn)之差乃Ti = t 即為系統(tǒng)的周期,。所以只要找出互信息I的兩個相 鄰極大值所對應(yīng)的極大點(diǎn)Ti和T2 ,其差值丁 = T2 -Ti就是系統(tǒng)的周期。當(dāng)周期t確定后,，就可求出 轉(zhuǎn)速,。另外利用由互信息I( T)的極大值來確定周 期,易于辨別和計算。

3互信息的計算,。

互信息I(S , Q)的計算可用等間距劃分空間格子的方法進(jìn)行：由給定的延遲時間T得到(s’q),，作出（s , q)平面，在(s’q)平面上重構(gòu)出圖形（例如 后面的重構(gòu)圖7) ,，再在圖形上對欲求互信息I(S ,， Q)所需的點(diǎn)集區(qū)域劃出矩形框A。設(shè)^是A在s方 向的長度,Aq是A在q方向的長度,，然后把A再等間 距地劃分成小格子e,。方向小格子的長度記為&_s’s 方向小格子的數(shù)目為M，所以As = Me_s,。同理,q方 向小格子的長度記為eq, q方向小格子的數(shù)目為M^f,，則A = M,e_q。在A中小格子e的總數(shù)為M X m',。 設(shè)⁽a ,， b)是所劃格子A的起始點(diǎn)，對米樣點(diǎn)(s,，q) 作下述判斷：

若滿足

表明(s,，q)在小格子ei中就進(jìn)行一次記錄,，直到 將所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)全部搜尋一遍,，記錄落入標(biāo)號為(i ’ j)的小格中所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)同時記錄落入范圍 在i - 1到i內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N_s,和從j - 1到j內(nèi)的點(diǎn)數(shù) Nq,即可得到，P_sq (si ’ qj) = Nsq/ Ntotal ， Ps (si)= Ns/ Ntotal ’ Pq ( qj) = Nq/ Ntotal ’ 其中 Ntotal 是全部采 樣點(diǎn)數(shù),。將Psq,、q代入公式（1) 就可求出在給 定延遲時間T值下的互信息值I(S ’ Q) ^[47]。

在測電機(jī)轉(zhuǎn)速的實(shí)驗(yàn)中,，由于電機(jī)所帶動的轉(zhuǎn) 動圓盤不是*均勻的,，在轉(zhuǎn)動的過程中，從其上面 散射的光就會呈現(xiàn)周期性,。我們首先用探測器來接 收這些散射光,，得到散射光的時間序列；其次編制出 計算互信息的程序,，計算出給定延遲時間T值下的

互信息值I( T) ,，得出互信息函數(shù)曲線;zui后利用互 信息函數(shù)曲線，求出轉(zhuǎn)動的周期性,，從而求出轉(zhuǎn)速,。

4實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖1所示。

圖1實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

取樣點(diǎn)處的光子數(shù)隨時間的變化

圖3對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的互 信息處理（I-t圖）

用直流電 動機(jī)帶動圓盤 轉(zhuǎn)動,，電機(jī)轉(zhuǎn)速 可調(diào),。圓盤散 射的光經(jīng)過兩 個光闌及透鏡圖2 的會聚由光電 倍增管接收,:，

把光電數(shù)字信 號進(jìn)行互信息 處理,，就得出互 信息曲線,。

在一定的 測量時間內(nèi)，米 集的光子數(shù)隨

時間變化的曲線如圖2所示,。從圖3可以看出互信息處理周期變化的信號顯現(xiàn)了出來,。

5由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計算電機(jī)轉(zhuǎn)速

對電機(jī)施加不同電壓’電機(jī)得到不同轉(zhuǎn)速。采集 某一轉(zhuǎn)速下隨時間變化的光子數(shù)’用自編軟件對采 集到的數(shù)據(jù)計算互信息函數(shù),。對確定的延遲時間T, 得到相應(yīng)的互信息/值/對不同的延遲時間r,得到 不同的互信息值,，可得到互信息的函數(shù)曲線。分析互信息函數(shù)欠曲線的周期特性,，可計算出相應(yīng)的轉(zhuǎn)速,。

對一組數(shù)據(jù)的互信息曲線(如圖3)進(jìn)行相應(yīng)轉(zhuǎn)速計算：由互信息極大點(diǎn)可知圓盤轉(zhuǎn)動周期為25 *2ms，轉(zhuǎn)速

n =60/ (25 X2 X10"³) = 1200(r/min)

所得結(jié)果與文獻(xiàn)[2]所用的自相關(guān)函數(shù)(用R表示)

圖4同一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)圖（R-t）

見圖4)所計算出的電機(jī)轉(zhuǎn)速相同,。這說明把互信 息函數(shù)法應(yīng)用于動態(tài)光散射測電機(jī)轉(zhuǎn)速的實(shí)驗(yàn)中,， 是可行的。

6相空間時間延遲重構(gòu)原理

對時間序列進(jìn)行動力學(xué)分析的一個前提,，是必 須有一個可用于工作的相空間,。由于不知道系統(tǒng)的 動力學(xué)方程或模型,而且從實(shí)際測量中僅能得到一 個單標(biāo)量的時間序列，因而從這個單標(biāo)量的時間序 列重構(gòu)相空間,，就成為時間序列分析的基礎(chǔ)之一,。

相空間重構(gòu)的方法有多種,，zui常用的是 Packard^[5]等人提出的時間延遲坐標(biāo)的思想，重構(gòu)出 所觀測到的動力系統(tǒng)的相空間,。他們指出,，對一組 觀測標(biāo)量s (1) ,s(2) … s ( n)中的某個值s ( n) 可 得到延遲T時刻后的測量值s(n + T) ’然后使用這 種時間延遲的集合構(gòu)造出一個d維矢量

x (n) = [s (n),s (n + T) ,s (n + 2 T) , ….., x(n + (d - 1) T)]

式中T為時間延遲;d為嵌入維。相空間重構(gòu)的結(jié) 果應(yīng)保留原系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)和幾何性質(zhì),，這要求 重構(gòu)變換是嵌入,這一點(diǎn)可由Takens^[6]定理保證,。 這時，這個矢量包含了原始的實(shí)際變量的動力學(xué)信息,，這樣就重構(gòu)出了所需要的相空間,。

7對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的二維重構(gòu)

Taken定理給出的僅是嵌入的充分條件，為了計算互信息,，只需對系統(tǒng)進(jìn) 行二維重構(gòu)即 可,。采集另一 轉(zhuǎn)速下電機(jī)的 一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 進(jìn)行二維重 構(gòu)，延遲時間 T從1取到 140,計算出互 信息值’相應(yīng) 的互信息函數(shù) 曲線是圖5,相 應(yīng)的自相關(guān)曲線見圖6,。

從這組數(shù)據(jù)測出的電機(jī)轉(zhuǎn)速：由兩個互信息相 鄰極大值的間隔可知電機(jī)旋轉(zhuǎn)周期為13 X2ms,則 轉(zhuǎn)速 n = 60/ (13 X2 X10^-3) = 2307. 7r/min,。從這 組數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)圖6可明顯看出，自相關(guān)把噪 聲抹平了,，能很好地提取出系統(tǒng)的周期信號,。而互 信息函數(shù)能反映出更多的動力學(xué)信息，由于噪聲或 其他細(xì)節(jié)的干擾,，周期性減弱,，但仍能從兩個相鄰的 互信息極大值判斷出系統(tǒng)所具有的周期特性。

選取幾個延遲時間,，做出二維重構(gòu)圖如圖7(a)- (e) ,。

在T = 51 ,89兩個互信息極大點(diǎn)處作出的重構(gòu)圖[如圖7 (a) , (e)]。

圖7對一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相空間二維重構(gòu)圖

軌道基本上擠壓在主對角線上,，這時失真zui大,，關(guān)聯(lián)zui強(qiáng)。這個結(jié)果表明,，所討 論的系統(tǒng)是確定論的系統(tǒng),。當(dāng)互信息處于相對較小值的點(diǎn)上做出的重構(gòu)圖，軌道開始展開,。當(dāng)互信息取極小值時,，重構(gòu)圖軌道整體展開到zui大[如圖7 (b) ,(c)]。當(dāng)T由小逐漸變大的過程中,，軌道隨著互信息值的增大而展開,，隨著互信息值的減小而壓縮;軌道隨著互信息值的再增大而再展開，隨著互信 息值的再減小而再壓縮,，不斷重復(fù)此過程,。這說明系統(tǒng)的動力學(xué)有周期性,互信息函數(shù)刻畫了這種周期規(guī)律,。

從圖7(b)中可以明顯看出，重構(gòu)的曲線繞了兩 圈后與自身重合,，這反映了系統(tǒng)具有二周期特性，即 系統(tǒng)整體有一個大周期,里面還套著一個小周期,。 這個結(jié)果表明,，系統(tǒng)除了有整體的轉(zhuǎn)動周期外，還有 因測試對象不是理想的轉(zhuǎn)動,，如電機(jī)本身的不均勻, 及測試對象不光滑,，此外還有環(huán)境及噪聲等其它因 素引起的附加的周期和非周期行為。

圖7(c)的重構(gòu)圖與圖7(b)的重構(gòu)圖有明顯的 區(qū)別,，圖7(b)中只有正向轉(zhuǎn)動的行為,而圖7(c)中 除了有正向轉(zhuǎn)動的行為外,還有逆向轉(zhuǎn)動的部分,。

另外它們的拓?fù)洳煌饕憩F(xiàn)在圖7(c)中有兩個 交叉點(diǎn),，而圖7(b)中只有一個交叉點(diǎn),。這些結(jié)果反 映出，在電機(jī)轉(zhuǎn)動這一簡單的實(shí)驗(yàn)中,，包含有復(fù)雜的 動力學(xué)內(nèi)容,。但是這種逆向轉(zhuǎn)動的原因，及不同的 拓?fù)渌奈锢硪饬x還不清楚,，有待進(jìn)一步研究,。

8總結(jié)

本文將互信息函數(shù)應(yīng)用于動態(tài)光散射檢測電機(jī) 轉(zhuǎn)速的研究，準(zhǔn)確地測出電機(jī)轉(zhuǎn)速,，這一結(jié)果與自相 關(guān)函數(shù)法的結(jié)果一致,。并且互信息函數(shù)法是真正意 義上的相互關(guān)聯(lián)，可得到更多系統(tǒng)的動力學(xué)信息,，這 些信息常常被淹沒于噪聲中,。

同時，本文將相空間二維重構(gòu)應(yīng)用于動態(tài)光散射檢測電機(jī)轉(zhuǎn)速的研究中,，從相空間重構(gòu)圖中可以 得出許多的動力學(xué)信息,，比如系統(tǒng)的二周期性，實(shí)驗(yàn) 受外界的噪聲干擾等,。這些現(xiàn)象有待進(jìn)一步研究,。